Dei to første lovene vart publisert i 1609 i boka Astronomia nova, og er basert på data som han hadde fått av Tycho Brahe angåande banen til Mars. Det er antatt at Brahe valde ut data om Mars fordi dei var spesielt problematiske, i den hensikt å halda Kepler i arbeid for at han ikkje skulle overta plassen som den største astronomen. Ironisk nok var Marsbanen vanskelig å forklara nettopp fordi den er den mest avlange av dei banane som Brahe hadde gode data på, og dermed gav han Kepler akkurat dei tala han trengte for å formulera ein meir korrekt teori for solsystemet som dermed fortrengte Brahe sin egen teori.
Ein sirkel vart sett på som perfekt og gudegitt, og slik måtte også bevegelsen til himmel-lekamane vera. Heilt frå dei greske astronomane var ingen i stand til å forestilla seg at planetene kunne bevega seg langs ei anna linje enn sirkelen. Det var derfor eit stort og avgjerand steget då Kepler, etter mange års studier, forsto at planetene går i ellipsebanar:
Figur 2.1 viser ein ellipseforma bane der a og b kallast henholdsvis store og lille halvakse. a er også lik planetens gjennomsnittlige avstand til sola, og kan skrives a = (rmax + rmin)/2. c er brennpunktets avstand fra aksesenteteret. Jo større forskjell på det er på disse aksane, jo meir avlang blir ellipsen. Vi kan altså ta forholdet mellom b og a som eit mål for kor avlang ellipsen er. Men det er vanlig å heller bruka forholdet mellom c og a. Dette kallast for banens eksentrisitet e, og er gitt ved uttrykket:
(2.1)
Eksentrisisteten er eit tal mellom 0 og 1. Dersom den er lik 0, dvs at c = 0, betyr det at banen er sirkulær og har en konstant avstand r = a fra sola. I solsystemet er det Venus som har den mest sirkulære banen med ein eksentrisitet på 0.0067. Jordbanen er også nesten sirkulær og har ein eksentrisitet på 0.017 og, mens Pluto har den mest avlange planetbanen med ein eksentrisitet 0.2482. Likevel er dette lite samanlikna med kometane som ofte har svært avlange banar. Mars har ein eksentrisitet på ....
På figuren er punktet A det punktet i banen der planeta er lengst frå sola. Dette kallast for aphel. Tilsvarande er P det punktet i banen der planeta er nærast sola. Dette kallast for perihel. For ein elliptisk bane rundt jorda, dvs. ein satelittbane, blir disse punkta kalt hhv. apogeum og perigeum. I figuren nedanfor er disse punkta merka av med A og P henholdsvis. For ein satelitt er hastigheten størst i P og minst i A. Kor mykje større er gitt ved Keples andre lov:
Årsaken til denne
hastighetsvariasjonen
er at for ein elliptisk bane står ikkje gravitasjonskrafta normalt på banen slik
tilfellet er for ein sirkulær bane. Dermed gjer gravitasjonskrafta eit positivt
arbeid på satelitten når den er på vei mot jorda, og eit negativt på vei
bort. Det betyr at når satelitten nærmar seg så aukar den kinetiske
energien, og når den fjernar seg så minkar energien, og dermed også farten. Ein annan måte å sjå dette på er at når
satelitten er langt borte er den potensielle energien stor. Sidan den totale
mekaniske energien er bevart, så må den kinetiske energien vera tilsvarande
liten.
Keplers andre lov seier altså at ein satellitten brukar mest tid i deler av banen lengst ute fra jordas sentrum, men den seier ingenting om kor lang tid den brukar på ein heil runde. Men her kjem Keplers tredje lov inn:
der K er ein proporsjonalitetskonstant.Keplers lover er idealiserte og gjeld kun for ein punktmasse i bane rundt et tyngdesenter som også kan betraktast som ein punktmasse. Verkeligheten er meir komplisert, for det første fordi jorda har ujevn massefordeling og for det andre fordi at gravitasjonskrefter frå andre planeter spelar inn. Likevel kan vi bruka dei med god tilnærming både for planeter i bane rundt sola og satelittar i bane rundt jorda, og både for sterkt avlange banar og sirkelbanar.
Lovene er empiriske, men vart seinare vist generelt av Isaac Newton med utgangspunkt i hans gravitasjonslov. Men her skal vi nøya oss med å visa det for ein sirkelbane. Vi tar då utgangspunkt i at banefarten til ein satelitt som går i ein sirkulær jordbane (dvs. sirklingsfarten) kan skrivast som
(2.4)
der M er jordmassen, G er den universelle gravitasjonskonstanten, og r er avstanden til jordensenteret. Hvis vi set farten lik banens lengde dividert med perioden, altså v = 2πr/T, får vi denne samanhengen mellom T og r:
(2.5)
Som vi ser, er dette i samsvar med Keplers tredje lov sidan radiusen r = a for ein sirkulær bane. Av dette ser vi også at konstanten K har verdien
Denne K-verdien gjeld for alle gjenstandar i bane rundt jorda. For planeter rundt sola må vi setja M lik solmassen.
Når ein bruker den tredje loven er det ofte enklast å bruka andre enheter enn meter og sekund. Dersom vi reknar omløpstida i år og avstander i den astronomiske enheten AU, blir Keplers tredje lov forenkla. Med disse enhetene har både T og a verdien 1 for jorda. Dermed må også K vera lik 1, og vi kan skriva Keplers tredje lov slik:
T2 = r3
Dette gjeld også for dei andre planetene. Tar vi td. utgangspunkt i omløpstida for Mars, som er 1.88 år kan vi finna r som:
r = T2/3 = (1.88)2/3 = 1.52 AU
som er akkurat gjennomsnittsavstanden til Mars.
Tilsvarande kan vi finna omløpstida for Pluto når vi kjenner den gjennomsnittlige avstanden til sola, som er 39.44 AU. Vi har då at
T = r3/2 = (39.44)3/2 = 248 år.
som stemmer med den observerte omløpstida for Pluto. Slå opp i tabellen og sjekk at verdiane for dei andre planetene også stemmer.